気柱 2 気柱共鳴と開口端補正の長さ

＜気柱共鳴の実験での開口端補正の実際の長さは、「管の半径×定数」という形の従来の「公式」には全く当てはまらないのではないか、とWave ofsoundは考えています。それを順を追って説明し、関心のある皆様と情報交換をするのがこのブログの目的です。＞


2回目の今日は、まず、気柱の共鳴実験とはどんな実験であったか、を振り返り、次に、「共鳴する」場合には何が気柱の中で起きているのか、について考えてみたいと思います。最後に、開口端補正の長さがどうなるか、という予想も述べます。


●気柱共鳴の実験で音速を測定する

高校で物理を選択された方は、「気柱共鳴の実験」で音速を測定したことを覚えておられるのではないか、と思います。鉛直に立てた管の中に、途中まで水を入れ、上の開いた口のそばで音叉を鳴らして、水面の位置を変えながら、音が大きく聞こえる（共鳴する）ときの水面の位置を調べる実験です。

この実験で音速を求めることができるのは、共鳴の起きる水面の位置が、音の波長（波の山から隣の山までの距離）と関係しているからでした。水面の位置から音の波長λが求まれば、音速ｃは、関係
　　　ｃ＝ｆλ

から決まります。音の振動数ｆは、わかっている音叉の振動数と同じだからです。

そこで、気柱内の水面の位置と音の波長との関係を簡単に復習しておきましょう。
　
管内の空気（気柱）のところでは、互いに逆方向に進む2つの波があり、それらが足し合わされます（干渉を起こしています）。音叉から出て水面へと向かう音の波と、水面で反射して上へと戻っていく波の２つです。この２つの波が干渉する結果、気柱内には進まない波（定常波）が生じています。

水面のところは節（空気が振動しない点）になります。音は縦波※なので、水面のごく近くの空気はふるえることができないからです。

※縦波とは、媒質（波を伝える物質で、いまの場合は空気）が波の進む方向に沿ってふるえている波のことです。例えば、音が西向きに伝わっているなら、各場所の空気は東西方向にふるえています。

開口（上の口）のところは腹（大きく振動する点）になります。開口のところの空気は比較的自由に上下方向にふるえることができるからです。実はこの腹の位置は、厳密にいうと、管口より少しだけ上になる、といわれています。このずれる距離が「開口端補正（Δと書きます。読み方はデルタ）」と呼ばれ、これから考察しようとしているものですが、まずは音速測定の話を続けましょう。

そこで、管内の空気の振動を模式的に表せば、先ほどの図のようになります。

一番高い水面の位置で共鳴している状況では、開口から水面までの長さ（＝気柱の長さ）L₁に開口端補正Δを加えた長さが、音の波長λの４分の１になります。式で書くと
　　　L₁＋Δ　＝　1/4 λ

もう少し水面の位置が低くて共鳴している状況（図の状況）では、同様な長さL₂＋Δが、音の波長の４分の３に等しく
　　　L₂＋Δ　＝　3/4 λ

さらに低い水面の位置で共鳴する状況では、同様な長さL₃＋Δが、音の波長の４分の５に等しく
　　　L₃＋Δ　＝　5/4 λ
となります。
以下同様に、水面の位置が長さにしてλ/2（半波長）下がるごとに、新しい共鳴が起こります。

これらの共鳴点での気柱の長さL₁, L₂, L₃,…を測定すると、その間隔が半波長に等しいので、波長λがわかる。波長λがわかれば、関係ｃ＝ｆλによって、音速ｃがわかる、というのが、気柱共鳴実験による音速測定の原理です。

（実は、上の実験で求まる音速ｃは、正確に言うと「管内での軸方向への音速」とでも呼ぶべきものです。この音速は一般に、外部の自由空間での音速とは異なっています。この事情は、開口端補正の長さが決まるメカニズムとも関係しているので、また日を改めて詳しく書く予定です。）


●気柱で起きていること

気柱の共鳴実験では、音叉やスピーカーなどの音源を開口部に近づけて、管内とその周囲の空気に振動を生じさせます。このとき、気柱内の空気には音源からエネルギーが注入され続けますが、振動はどこまでも大きくなるわけではありません。

例えば、開口部から外へと円形に広がっていく音波がエネルギーを運び去ります（放射によるエネルギー散逸）。また、部屋の壁による音の吸収や、管自体の振動によって逃げていく音波のエネルギーがあります。さらに、（これが最も重要なのですが）空気に粘り気（粘性）があるために、音によって小刻みに行ったり来たりしている（振動している）空気が管の内壁で擦られて、摩擦熱が発生します（粘性によるエネルギー散逸）。

つまり、空気の振動が音源によって励起される一方、他方では、さまざまな原因で散逸していくエネルギーの流れがあるということです。これらの入力と出力がつりあった振動状態が、定常的に維持されている、というのが実際におこっていることです。


●気柱が共鳴するときに起きていること

決まった振動数で振るえる音源を、気柱のそばにおいてみます。気柱内には、正弦波の形の定常波が生じ、水面のところが節になっています。振動数が決まれば波長が決まるので、節と腹、腹と節の間隔も決まり、各々の腹や節の位置も決まります。

しかし、水面の位置によって共鳴する場合とそうでない場合があります。共鳴する場合とは、上で生じる定常波の振幅が大きいときです。そうでない場合には、振幅の小さな定常波しか生じません。この、共鳴する場合について、開口端のそばの腹の位置が、開口端からどれだけ外にずれているか、を表す量が「開口端補正の長さ」と呼んでいるものです。

では、どのような場合に振幅の大きな定常波が生じる（共鳴する）のでしょうか。

大きな定常波が生じているときには、気柱内に大きなエネルギーが保たれています。音源から気柱内に流れ込むエネルギーを一定とすれば、逃げていくエネルギーが少ないときに、大きなエネルギーが保たれます。つまり、逃げていくエネルギーが少ないような水面の位置のときに、共鳴が起きるに違いありません。


●共鳴が起きる条件

では、どのような水面の位置のときに（あるいはいいかえると、腹の位置が開口端からどれだけ外へ出ているときに）、外へと逃げていくエネルギーが少ないのでしょうか。

Wave ofsoundは、管内での音波の波長λに較べて細い管では、空気の粘性による管壁でのエネルギー散逸がもっとも重要であることを見出しました。その効果を計算してみると（詳細は次回以降に書きます）、腹の位置が開口端から出ている長さをΔとして

　　　Δ　＝　λ/8　−　ｂ₁ × 管の半径

のときに、エネルギー散逸のスピードが最小になることがわかりました。つまり、開口端補正の長さΔが上の式で与えられる、ということです。ここでｂ₁は単位のない正の量で、管の半径にも依存しますが、管が細いときにはほとんど定数と考えて構いません。

上の式で「管の半径→0」とおいてみると、開口端補正の長さはλ/8になることがわかります。つまり

　　　細い管の開口端補正は、管内の波長の８分の１　

なのです。この予想は、管の断面の形によらずに成り立ちます。断面が四角い管でも楕円形の管でもおむすび型の管でも、その管が細ければ、開口端補正の長さはほぼλ/8です。従来の公式「管の半径×0.6」とは一致しないはずです。

身近に気柱共鳴の実験ができる環境のある皆さん、ぜひぜひ、この予想を実験で確かめてみて下さい。そしてその結果を教えて下さい。よろしくお願いします。

さらに、上の式の第2項の前にマイナスがついているので、管が太くなるにつれ、開口端補正の長さは減少することが予想できます。これも従来の公式とは逆の結果です。こちらもぜひ実験で確認してみて下さい。

では、また日を改めて。次回は、空気の粘性の役割について書く予定です。