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気柱 3 空気の粘性の役割

気柱 2 空気の粘性の役割

ーーー 気柱共鳴の実験での開口端補正の実際の長さは、「管の半径×定数」という形の従来の「公式」には全く当てはまらないのではないか、とWave of soundは考えています。「細い管での開口端補正の長さは、波長の8分の1」になるはずです。それを順を追って説明し、関心のある皆様と情報交換をするのがこのブログの目的です。ーーー

3回目の今日は、気柱共鳴の実験での空気の粘性の役割についてお話しします。

なぜ、空気の粘性などを取りあげるのか。

それは、粘性が開口端補正の長さを決める最も重要な要因であると思われるからです。詳しくは第2回を参照していただけたらと思いますが、はじめにちょっとだけ復習しておきます。

気柱が共鳴する(大きな振幅の定常波が生じる)のは、管内の空気の振動のエネルギーが外へと逃げていくスピードが小さい場合でした。エネルギー散逸の原因としては、開口部からの音波の放射や、粘性による管壁での摩擦などのさまざまな原因が考えられますが、細い管では粘性が最も重要になります。

というわけで、今回は粘性について考えることにします。


●空気の粘性とは

粘性とは、隣接する空気に速度差(速度勾配)があるときに、そのずれを妨げようとして生じる摩擦力のようなものです。もちろん、空気以外の水などの流体でも同様な力が働きますが、ここでは空気を例にして考えることにします。

粘性が生じる分子的なメカニズムは複雑ですが、定性的には、空気のある部分が受ける粘性による力は、その表面積と速度勾配の両方にほぼ比例すると考えることができます。

2zu1.jpg


例えば、広い部屋の床が移動するベルトでできていて、床は東向きに一定の速度Vで進んでいるとします。ふすまや壁はないとしましょう。ベルトはすでに長い時間動き続けており、一方、高さhのところにある天井は止まっているとします。

空気の粘性のために、床のすぐ上の空気は、東向きに床と同じ速度Vで動いています。天井のすぐ下の空気は、天井と同様、止まっています。ちょうど半分の高さの空気は、中間の速度V/2で東向きに動いています。鉛直方向の速度勾配(単位長さあたりの速度の変化量)は、V/hです。

ここで、例えば、部屋の中の高さh/2のところにある、面積Sの水平面Aを考えてみましょう(ここでは一例として高さh/2の水平面を考えましたが、他の高さのところの水平面を考えても同じことです)。

面Aの下側の空気は、面Aの上側の空気より速く東向きに動いています(すべっています)。空気の粘性のために、上側の空気は下側の空気によって東向きに「こすられて」、力を受けています。そこで、上側の空気が、下側の空気から、面Aを通して東向きに受ける力の大きさがfであるとしましょう(このとき、おなじみの作用反作用の法則によって、下側の空気も上側の空気から面Aを通して同じ大きさfの力を受けます。その向きは逆で、西向きです)。

粘性による力fは、面積と速度勾配の両方に比例するので
   f = 比例定数 × S  × V/h

と書けるでしょう。比例定数は「粘性係数」と呼ばれ、上の式からわかるようにその単位は(SI単位系では)
   粘性係数の単位 = 「力×長さ/(面積×速度)」の単位
           =  [kg・m-1・s-1]

となります(「力」の単位は N(ニュートン)=kg・m・s-2 )。

標準状態(0℃、1気圧)の空気では、粘性係数は 17.1×10-6 kg・m-1・s-1 程度です。


●床が行ったり来たりする(振動する)場合の粘性の影響

上では、床は一定の速度で動き続けているとしたので、部屋には定常的な空気の流れが生じています。では、もし、床が一定の周期と振幅で東西方向(水平方向)に小刻みに行ったり来たりしている(振動している)としたらどうでしょうか。

床のごく近くの空気は、床の動きに引きずられて一緒に動くでしょうが、床から離れるにつれ、動き(振動)の振幅は急激に減少するでしょう。実際には、空気の振動の振幅は、床からの距離が増えるにつれ、指数関数的に減少します。例えば、床からある距離だけ離れると振幅が1/2になるとすれば、距離が2倍になると振幅は1/4に、3倍なら1/8に、4倍なら1/16になるのです。

では、振幅が 1/e 倍に減少する距離はいくらでしょうか(e=2.718…は自然対数の底)。それを求めるには、例えば、粘性を考慮した流体力学の方程式(例えばナビエ・ストークスの方程式)を解いてもよいのですが、ここでは解の定性的なふるまいに興味があるだけなので、次元解析でおおよその距離(これを粘性による「表皮層の厚さ」あるいは単に「表皮厚」と呼ぶことにします)を求めてみることにしましょう。

(関心のある高校生の皆さんにも読んでほしいので、数学が面倒になるところはなるべくあとに回して、付録などで扱うつもりです。)

表皮厚は、床の動き(振動)の振動数に依存するでしょう。振動が速い(振動数が大きい)ほど、表皮厚は小さくなると予想できます。また、空気の密度や、当然、粘性係数にもよるでしょう。そこで
   表皮厚 = 定数 × 密度a × 振動数 b × 粘性係数 c

と予想して、次元解析※で指数a, b, cを決めます。右辺先頭の定数は1/2や2πのような、通常0.1〜10程度の大きさの単位のない定数で、次元解析から決めることはできません。また、振動数とは、1秒間に行ったり来たりする回数のことです。

両辺の単位を比較すると
   [m] = [kg・m-3] a × [1/s] b × [kg・m-1・s-1] c
なので
   [m]について  1 = −3 a − c
   [kg]について  0 = a + c
   [s]について  0 = −b − c

を得ます。これを解いて a = −1/2, b = -1/2, c = 1/2 となりますから、

   粘性による表皮厚 = 定数 × √{粘性係数 / (密度 × 振動数)}

という公式を得ます。

(※次元解析については、例えば「単位がわかると物理がわかる」(ベレ出版)などをご覧下さい。)

これに先ほどの粘性係数の値と標準状態での空気の密度1.29 kg/m3、それに、例えば、耳に聞こえる音の代表的な振動数1000ヘルツを代入すると、表皮厚は、定数×0.12 mmと求まります。定数は大きくてもせいぜい10程度ですから、仮に1秒間に1000回の割合で床が小刻みに水平方向にふるえても、床から上に1ミリメートルも離れれば、ほとんど空気は動いていないことになります。

粘性のために床に引きずられて一緒に動いている空気の層は非常に薄く、わずか1ミリの厚さもないわけです。

もちろん、これは床の振動の振動数を1000ヘルツと大きくとったからで、もし、0.1ヘルツ(10秒周期で行ったり来たりする)とするならば、表皮厚は、12センチメートルと大きくなります。この後者の場合には、床がゆっくりと振動するので、それにつられて空気も大きく動き、12センチメートルの高さの空気でも多少は動くのです。


●気柱内の空気の振動

話を気柱内の音の波に戻しましょう。上では、床から十分に離れたところの空気は止まっていて、床が水平方向に行ったりきたりするとしましたが、音が気柱の中を伝わるときには逆のことが起こっています。管壁は止まっていますが、筒の内部の空気は、音の振動数(例えば1秒間に1000回)でふるえている(行ったり来たりしている)のです。

管壁から離れたところの空気は、一斉に、管の軸に沿った方向に、行ったり来たりしています(1000ヘルツの音なら、波長は34センチくらいです)。一方、管壁の近くの空気は、管壁にへばりついています。しかし、へばりついているのは1ミリメートルにも満たないごく表層の空気だけです。他の部分の空気は、一斉に、軸に沿った方向に音の振動数で振動しています。


●管内の空気を2つの部分(表皮層と内部)に分けて考える

以上の考察から、管内の空気は近似的に、次の2つの部分に分けて扱うことができるでしょう。(下図は、ある瞬間、時間を止めて、空気の各部の速度を矢印で示したものです。管は90度回転して、寝かせた状態で描いています。音が伝わる方向は左右方向です。ちょうど半周期の時間が経つと、各部の速度は逆向きになります。)

2zu2.jpg

第1の部分は、管壁近く、1ミリメートルにも満たない厚さをもつ空気層(オレンジ色の部分)です。上の図では厚みを誇張して描いてあります。この部分では、空気の速度勾配が大きく、粘性の効果が無視できません。この空気層(表皮層と呼びます)では、粘性によるエネルギー散逸(具体的には音波のエネルギーが熱エネルギーに変わること。これは摩擦による熱の発生に類似した現象です)も、もちろん、重要になります。

第2の部分は、管の内部で、管壁から表皮厚よりも離れた領域(緑色の部分)のことです。これからは、「管の内部」といったときには、この領域を意味するものとします。この部分では空気の速度勾配が小さく、粘性の効果が表皮層にくらべて無視できるので、近似的に粘性の効果を無視した扱いが可能です。

もちろん、厳密に言えば、第2の部分、つまり管壁から離れた「管の内部」でも粘性の効果はゼロではありません。粘性が無視できないからこそ、例えば、空気中を音波が遠方へと伝わる際に減衰したりするわけです(詳しくいうと、音の減衰には、粘性だけでなく、空気の熱伝導なども影響します)。しかし、短距離の現象を扱うときには、そうした減衰は通常は無視できます。それと同様な意味で、「管の内部」では粘性を無視した扱いが可能であるということです。


●空気の粘性による表皮層でのエネルギー散逸

例えば、重なった2枚の板の間にすべりが生じているなら、摩擦によって熱が発生します。単位時間あたりに発生する熱量は、「動摩擦力×速度差」に等しくなります。

気柱も同様です。気柱内に音の定常波が生じているとき、管壁の表皮層のところでは、幾重にも層をなす空気の層どうしの間に速度差(速度勾配)があるので、やはり、表皮層内の各部で摩擦熱が発生します。この場合、先ほど見たように、空気の粘性による摩擦力自体が速度差に比例するので、「摩擦力×速度差」は速度差の2乗に比例します。つまり、表皮層の各部で単位時間あたりに発生する熱量は、その場所の、その時刻の速度勾配の2乗に比例するのです。

さて、表皮層の厚さは場所にはよらず、一定です。そこで、管壁のある狭い部分Pに注目します。その部分の直上の内部の領域(図の緑色の部分)で速度が大きいなら、部分Pに接する表皮層での速度勾配も大きくなっています。P直上の内部の領域での速度が2倍なら、Pのところの表皮層の各部での速度勾配も2倍、速度が3倍なら速度勾配も3倍です。

結局、管壁のある部分で単位時間に発生する摩擦熱は、その部分の直上の内部の領域での空気の速度の2乗に比例することがわかりました。

このように、管内の空気を2つの部分(表皮層と内部)に分けて考えたとき、(粘性の影響が無視できるため)比較的扱いが容易な、内部の領域での空気の速度を用いて、表皮層で発生する摩擦熱を見積もることができるのです。そのおかげで、今後の解析が大変やりやすくなります。

   ***

では、今回はこのあたりで。次回はいよいよ、波長の8分の1という開口端補正の理論値がどのように決まるのかを考察する予定です。

ここまで読んでこられた方の中には、いろいろ疑問をお持ちの方もおられるのではないか、と想像します。例えば、上では管内の空気は管の軸に平行な方向に動く(行ったり来たりする)としましたが、そのように仮定してもよいのだろうか、というような疑問です。

それをちゃんと示すには、流体力学の運動方程式や気体の状態方程式などを用いる必要があるようです。このブログでは、細かい話はひとまず後回しにして、現象の核心部分を簡単化した例で説明することを優先したいと思っています。仮定や近似の妥当性の厳密な検討は、そのあとでお話しするつもりです。では、また。

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「気柱共鳴の物理」カテゴリの記事

コメント

開口端補正が気になって読みはじめました.
管が太いとか細いとか言うことは我々の見た目であって,音波にとっては普遍的な言い方ではないのですね.むしろ音波にとって管が細いとか太いとか言う意味は,音波の周波数・気体の動粘性係数・管半径を用いたパラメーターが決めているのですね.興味深い話です.
音波にとって非常に狭い流路内では音速も変わってくるのではないでしょうか??

投稿: acoustic | 2006.02.09 17:17

acousticさん、コメントありがとうございます。

ご指摘のように、音の波長、管半径、表皮厚(粘性境界層の厚さ)、の3つの長さの比率で、管内の現象が決まっているのだと思います。

表皮厚と同じくらいの、極めて細い管では、管壁付近での粘性によるまさつのために音速も遅くなり、

管内の音速  = 外の音速 × (1 ー  (表皮厚/半径))

のようになります。(ここで 、表皮厚 = √{粘度/(2×角振動数×密度)} = √{動粘度/(2×角振動数)} )
この公式を最初に導いたのはヘルムホルツだそうです。レイリーの有名な古典「Theory of sound」の§347にのっています。私は図書館で見つけました。

具体的に計算してみると、空気の粘度を18×10^(-6) Pa・s、密度を1.3 kg・m^(-3)、振動数を100 Hzとすると、表皮厚は0.10 mmとなるので、例えば、内径1 mmの管なら、管内の音速は10%ほど遅くなります。

と、ここまでが純粋な理論の話なのですが、実際には、管の内壁がすべすべではなくて細かい凹凸があったりすると、そこで小規模な渦などが発生するため、現実はもっと複雑だろうと思われます。
   *

粘性の影響を入れた、開口端補正の公式を得たいと思ってから、もう3年くらいですが、なかなか定性的な段階を卒業できずにおります。数ヶ月に一度、なにかアイデアを思いついて計算してはいるのですが…。エネルギーが散逸する現象の扱い方を、よく理解していないからな、と思っています。

投稿: Wave of sound | 2006.02.12 23:48

まだ先の方を読んでませんが,なにかわかることとか疑問に思ったことをコメントしていきたいと思います.

投稿: acoustic | 2006.02.13 10:19

初めまして。私は現在高3で、波動の講義を受けてから開口端補正に興味を持ち、調べていてここに辿り着きました。
師からおそらく空気の粘性がキーになってるだろうと言われ、音響学の本を紐解いてみるも、私には難し過ぎて半ば諦めていたところだったので非常に参考になりました。
先日ブログを始め、よろしければ同じく興味を抱いていた友人に紹介すると共にリンクを貼らせていただくことをお許し頂きたいです。
今後のご研究も楽しみにしております。

投稿: Mokuo | 2006.06.11 02:22

Mokuoさま
ご覧のように考察が未完成な状態にとどまっておりますが、それでよろしければ、ご友人への紹介とリンクの件はもちろん、して下さって構いません。

現在高3で、興味を持った物理の問題を先生に質問しつつ、自力でいろいろ考えておられるのですね。大学の教科書をひっくり返しながら、うんうん唸ったり、計算したりしておられるのでしょうか。小生も数十年前のことを(笑)懐かしく思い出しました。楽しい、いい思い出です。

ところで、管内の空気の振動は、オイラーが創始した「連続体の力学」に属する問題です。開口端補正の問題は、その中ではちょっと脇道にそれた問題かも知れません。基礎理論の本流の勉強がもう少し進んでから再度、開口端補正の問題にトライされた方が、時間の節約になりそうな気もします。でも、興味を持ってしまったら、没頭して、どうにかこうにかして解いてしまう、という人もいますね。健闘を祈ります。

投稿: Wave of sound | 2006.06.12 10:04

初めまして。先日高校で行った気柱共鳴の実験に興味を持ちネットで検索してみたところ、このブログに行き着き、分かりやすい新しい開口端補正についての考え方とその論証にただただ目を丸くしています。そして勝手ながら、手元にある実験結果と照合してみました。ここにそれを報告させていただきます。
波長:17.5 cm
開口端補正:2.2 cm
管の半径の長さは測っていないので何とも言えませんが、2 cmほどだったと記憶しています。
これに従来の公式を当てはめてみると、1.0 cm の誤差が生じてしまいますが、Wave of sound 様の公式に代入すると、2.1875 cm となり、ほぼ開口端補正の値と一致しました。さらに、管が太くなるにつれ開口端補正の長さが減少するというのもまた、この結果から裏付けされました。
高校2年生の学校の実験の結果なのであまり確かではありませんが、Wave of sound 様のさらなるご活躍に繋がるものになれば幸いです。

投稿: Chrome*D | 2008.02.11 22:41

↑のコメントの開口端補正の長さは、2.0 cm です。それに伴い、従来の公式との誤差も0.8 cm になります。
申し訳ありません。

投稿: Chrome*D | 2008.02.11 22:47

Chrome*Dさん

実験結果のご報告ありがとうございます。半径2センチは、WSの理論が正しかったとして、粘性の影響が効き始める微妙な太さです。開口端補正は、半径の0.6倍よりは長く、波長の1/8よりは短い、くらいになると思います。(あまり進展がなくて、厳密な公式にはまだたどり着けていませんが…)

ところで、開口端補正を精度よく測定するのはなかなか難しいみたいです。Web上の記述をみると、管の半径だけでなく、管の開口の周囲の状況(床との距離や位置関係、管の厚み、音源の距離と方向など)に、開口端補正の長さは微妙に影響を受ける可能性があります。どんな実験条件のときに開口端補正がいくらだったか、という情報が、もう少し集まるといいですね。

投稿: Wave of sound | 2008.02.12 09:19

お邪魔します。

 とても分かりやすい検証のページを拝見して感謝しています。

 排気と煙突の径の適合性を考えるため、最初はカルマン渦に依る気流抵抗から解く事にトライしましたが、とても手に負えないということから、近似的に粘性抵抗からまずは実用的な流速エリア(90%以上)を得られる径を仮に算定し、それを境界条件にして渦の影響を加算するということを考えています。
 もう、40年以上前に教わった事を思い出しながらのことなので、挫折するかもしれませんが、ヒントを頂いた感じで感謝して居ります。
 これからのご活躍をお祈りして。

投稿: スー | 2008.02.26 14:50

スーさま、そう言っていただけるとうれしいです。

円管に空気を通す場合、臨界レイノルズ数が約2000ということから計算してみると、たとえば直径が20cmだと流速がわずか10cm/sでも、(管壁近くが?)乱流になるのですね。お恥ずかしながら知りませんでした。ちょっと驚きです。

管壁近くの境界層では平均速度に速度勾配がある、つまり、平均的な速度がゼロから主流の速度まで変わっている。しかも、境界層では(主流部でも?)それに乱流が乗っている、という状況だと想像しました。たしかに易しい状況ではないようです(笑)。

お考えの方針で、うまくいくといいですね。気流抵抗算出のご成功をお祈りしております。

投稿: Wave of sound | 2008.03.01 05:33

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