気柱 10 粘性が効く管の太さ

10回目の今日は、粘性の影響が問題となる管の太さ（半径）についてお話しします。

気柱で共鳴がおきているとき、スピーカーなどから１秒間に入射するエネルギーと、管から出ていくエネルギーの量が同じになっています。エネルギーが出ていくメカニズムには主に２つがあると考えられます。管口からの音波の放射と、管壁での摩擦によるエネルギー散逸（熱の発生）です。管内の音の定常波は、これらのエネルギー散逸の合計が最小になるように各振動モードを重ね合わせたものです。

直観的には、音の波長に較べて太い管では、管口からの放射によるエネルギー散逸が主になり、逆に細い管では、粘性によるエネルギー散逸が主になる、と考えられます。

開口端補正もそれに応じて決まるはずです。
太い管では粘性の影響は小さいので、レビンとシュヴィンガーによる理論値、つまり「開口端補正≒半径×0.61」がよい近似となるでしょう。
それに対して細い管では粘性の影響が大きいので、このブログでお話ししているように（まだ理論が完全ではありませんが…）「開口端補正≒波長×1/8」がよい近似となるはずです。

そこで、両者の境目となる管の太さがどのくらいなのかを定性的に考えてみます。これは前回お話ししたモデル３（粘性の影響を考慮した単純化モデル）の考察のための下準備です。


■エネルギー散逸を見積もる（失敗編）

管の半径をａ、空気の平均密度をρ、音波による空気の振動速度（の最大値）をＶ、波長をλ、音速をｃとします。

管口から単位時間あたりに放射される音波のエネルギーＰは、「単位体積あたりの振動エネルギー×音速×断面積」なので、およそ

Ｐ　〜　ρＶ^２　×　ｃ　×　ａ^２

の程度です（1/2やπのような数係数はすべて１に置きかえています。量のおよその大きさを見積もるための大雑把な議論なので）。

また、粘性による単位時間あたりのエネルギー散逸Ｑは、「壁の面積×単位面積あたりの摩擦力×空気の速度」で、ここで、「単位面積あたりの摩擦力＝密度×動粘性係数（ν）×速度勾配」なので、

Ｑ　〜　ａλ　×　ρνＶ／ｄ　×　Ｖ

ただし、ｄは表皮厚（第３回参照）でｄ＝√{ν／ω}〜√{νλ／ｃ}です。

ＰとＱの表式を較べると、Ｐは半径ａの２次関数、Ｑは１次関数で、いずれも原点を通ります。ａが大きいときにはＰの方が急激に増えます。逆にａが小さいときにはＰはＱに較べて小さくなります。では、ＰとＱの大小関係が入れ替わる半径ａはどれくらいでしょうか。

もちろん、それは音の波長λなどの他のパラメータによって異なりますが、例えばλ＝34 ｃｍとしてみましょう。音速はおよそ340 ｍ／ｓなので、これは振動数1000 Ｈｚの音です。等式

Ｐ　≒　Ｑ

を変形すると、

ａ／λ　〜　√{ν／（ｃλ）}

となるので、空気の動粘性率ν＝１．５×１０^-5　ｍ^２／ｓも用いて

ａ　〜　０．１　ｍｍ

を得ます。
非常に小さな値です。こんな細い管でないと粘性が効いてこないなんて、直観に合わない気がしませんか？　半径５ミリくらいの管でも、中で共鳴して空気が振動していれば、粘性の影響が大きい気がするのに…。

実はひとつ、考え忘れていることがあります。管端で起きることをよく考える必要があるのです。


■エネルギー散逸を見積もる（成功編…たぶん）

細い管では、中に音がこもります。管端からあまり外へ出て行かないのです。このため、管が細いほど、外部の音の振幅は内部に較べて小さくなります。

これは前回「気柱９」で中と外の波を接続したときの式を眺めていただくとわかるのですが、管が細い場合、管内の音が管外へと透過していくとき、透過波の振幅は管内の振幅の（数定数を除いて）およそａ／λ倍になります。波が運ぶエネルギーは振幅の２乗に比例するので、上で求めた管口からのエネルギー放射のスピードＰは、正しくは（ａ／λ）^２倍しなければなりません。つまり

Ｐ　〜　　（ａ／λ）^２　×　ρＶ^２　×　ｃ　×　ａ^２

となり、管口からの放射エネルギーは、管の半径ａの２乗ではなくて４乗に比例することになります。

これに伴い、ＰとＱが同程度の大きさとなる管の半径も異なってきます。同様な計算をすると

ａ　〜　0.1　×　（λ^５　×　4 [cm]）^1/6

が、粘性の効果と管口からの放射の効果が同程度になる管の半径であることがわかります。以下に表にまとめてみます。（ｃ＝３４０ ｍ／ｓとしています）

振動数[Hz]	17000	6800	3400	1700	850	425	212.5
波長[cm]	2.0	5.0	10	20	40	80	160
半径[cm]	0.22	0.48	0.86	1.5	2.7	4.9	8.7

この見積もりは数係数を無視して大雑把に行ったので、正しい値は数倍あるいは数分の１くらいかも知れませんが、定性的な傾向は正しくつかめているはずです。

表からわかるように、放射と粘性の効果が同程度になる管の半径ａは、音の波長が長いほど（振動数が小さいほど）大きくなりますが、ふつうの音（数千ヘルツから100ヘルツ）なら、境目の半径は数ミリから数センチです。微妙なことに、ちょうどよく高校での実験で使われるあたりです。

リコーダーのような細い管で、開口端補正が大きいという報告があるのは、やはり粘性の効果が効いているからではないでしょうか。この場合には開口端補正の値は波長のほぼ８分の１になる、というのが私の予想です。


■興味深い実験結果

北海道の札幌南陵高校化学部の皆さんの「ソプラノリコーダーの研究」という ホームページに、 リコーダー（半径0.4cm）の開口端補正と、塩ビ管（0.65cm）の開口端補正Δの実験値がのっています。

指穴をすべて閉じた場合の開口端補正は、リコーダーの場合にはΔ＝2.3 cmで、明らかに管の半径ａ＝0.4 cmより長くなっています。（閉管と考えて２Δを補正とみると、4.6 cm。なお、振動数（525 Hz）から計算される波長は66.3cm）

一方、塩ビ管の方はΔ＝0.8 cmで、管の半径の1.2倍程度となっており、やはり理論値（半径の0.61倍）より大きくなっていますが、リコーダーほどではありません。

これらの実験値が（粘性の影響を無視した場合の）理論値からずれたのは、ともに粘性の効果によるものでしょう。半径の小さいリコーダーの方が粘性の影響が強く表れたものと思われます。

------ 付記（2008.6.27）：空気の動粘性係数の値をひと桁まちがえていたので、表などの数値を訂正しました。定性的な結論は変わりません。なお、表皮厚の式にもミスプリ（分母と分子が逆）がありました。混乱した方がいらしたら、申し訳ありません。